Metode Estimasi Parameter ARIMA Box-Jenkins

A.  Metode Moment

Secara singkat metode moment ini adalah metode yang paling mudah untuk diterapkan, dimana estimasi parameter berdasarkan hubungan:

Sehingga estimasi parameter untuk sebagian model-model ARIMA adalah sebagai berikut:

1.        ARIMA (1, 0, 0) à  AR(1)

Dengan metode moment ini, nilai taksiran parameter model AR (1) yaitu φ₁ adalah:

sehingga diperoleh:

2.        Arima (2, 0, 0) à AR (2)

Nilai taksiran parameter AR  (2) yaitu φ₁ dan φ₂ adalah (Yule-Walker equation) :

3.    ARIMA (0 , 0, 1) à MA (1)

Berdasarkan hasil ACF dan PACF dari bab sebelumnya diketahui bahwa:

Sehingga dengan mengganti ρ₁ = r₁ , maka akan diperolehbentuk kuadrat dalam θ dapat diperoleh melalui:

4.    ARIMA (1, 0, 1) à ARIMA (1, 1)

Berdasarkan nilai ACF dan PACF pada bagian sebelumnya diperoleh bahwa:

 

Dari persamaan ini diperoleh bahwa

 sehingga estimasi yang pertama dapat dilakukan untuk φ yaitu :

 

Persamaan r₁ diatas adalah persamaan kuadrat sehingga dalam penyelesaiannya akan dapat menghasilkan dua nilai parameter, dimana nilai penyelesaiannya adalah parameter yang nilainyamemenuhi syarat INVERTIBLE.

B.       Least Square Estimation

Pada bagian ini hanya akan diberikan ilustrasi penerapan metode least squares untuk estimasi parameter model AR (1), yaitu :

Model ini dapat dilihat sebagai suatu model regresi dengan variabel predictor Z_t-1 dan variabel respon Z_t. Estimasi Least Squares dilakukan dengan cara mencari nilai parameter yang meminimumkan jumlah kuadrat error, yaitu:

Dengan menerapkan differensial terhadap µ akan diperoleh estimasi parameter model AR (1) ini seperti sebagai berikut:

µ dengan cara yang sama lakukan differensial terhadap ϕ akan diperoleh: